30 de marzo de 2006

Consultorio: Calcular el TAE con Excel

Bueno, primera cuestión del consultorio. En realidad no ha llegado por correo, pero como dos personas me la han planteado me parece un buen tema para abrir esta sección.

Hace unos años el gobierno obligó a los bancos y otras entidades financieras a utilizar el TAE -Tasa Anual Equivalente- a la hora de hablar de intereses, el objetivo era evitar las confusiones que creaban los intereses nominales. Aunque el que todos los bancos utilicen el TAE facilita la comparación de ofertas, me temo que sigue produciendo confusión en la mayoría de los clientes.

Veamos, el TAE es el porcentaje de interés que recibiríamos o pagaríamos por un producto financiero si su duración fuese un año, incluyendo en el cálculo todos los gastos necesarios para contratar el producto.

Yendo a lo práctico, voy a comentar cómo calcular en Excel: el TAE sabiendo el interés a un mes o un periodo más largo, cómo calcular lo que produce realmente un depósito o cuenta de alta remuneración como los que comentamos recientemente a partir de su TAE, lo que habría que pagar al mes en una hipoteca o préstamo personal sabiendo el TAE y el TAE de un préstamo con comisión de apertura. Las demostraciones de las fórmulas que voy a utilizar las dejo al final de la entrada.

Si nos indican que cada mes cobraremos un 1% de intereses sobre el capital inicial y los intereses generados, el TAE se calcularía con la fórmula:

=(1+1%)^12-1 = 12,68% TAE

Donde "^" significa "elevado a".

Vaya, cobrar un 1% todos los meses es mejor que cobrar un 12% a final de año.

Si nos dijeran que dentro de 5 años recibiremos el 110% de nuestra inversión, podemos calcular el TAE con la siguiente fórmula:

=EXP(LN(1+10%)/5)-1 = 1,92% TAE

Donde "EXP" significa "e elevado a" y "LN", "logaritmo neperiano".

Vaya, es mejor un 2% anual que un 10% en 5 años.

En el caso de un depósito, el primer paso es calcular el interés diario. En contra de lo que mucha gente piensa, no se consigue dividiendo entre 365. ¿Por qué? Por que hay intereses sobre los intereses. La fórmula correcta en Excel sería casi igual a la que acabamos de usar:

=EXP(LN(1+TAE)/365)-1

En el caso de un 6% anual, el interés diario es -redondeando- un 0,016%. Lo que se traduce en los siguientes intereses mensuales según la duración del mes -utilizando el interés sin redondear-:

28 días. (1+0,016)^28-1 = 0,45%
30 días. (1+0,016)^28-1 = 0,48%
31 días. (1+0,016)^28-1 = 0,50%

Por lo tanto, cuando un depósito anuncia un 6% TAE a un mes, nos pagará entre un 0,45% y un 0,50% según la duración del mes. De lo que salga, habrá que descontar el 15% de retención por IRPF.

La retención hace que los resultados reales no coincidan con los teóricos, esto se debe a que el banco no nos paga intereses sobre la parte retenida. Por eso, aunque tengamos el dinero un año al 2,25% TAE en una cuenta de alta remuneración, a fin de año nuestro dinero habrá crecido algo menos del 2%.

En el caso de un préstamo, existen dos fórmulas muy útiles: PAGO y PAGOINT. PAGO calcula las cuotas de un préstamo y PAGOINT la parte de intereses que hay en esa cuota. La diferencia entre PAGO y PAGOINT es la parte de capital que estamos amortizando (el dinero que le estamos devolviendo al banco de lo que nos prestó).

Para usar PAGO necesitamos tres valores: la tasa, el número de períodos y el valor actual. Dado que los préstamos se pagan mensualmente, la tasa es el interés mensual y el número de períodos es el número de meses. El valor actual es el dinero real que nos prestan. La tasa mensual se calcula con esta fórmula:

=EXP(LN(1+TAE)/12)-1

En un préstamo de 6.000 euros al 8% TAE a 6 años (72 meses).

=PAGO(EXP(LN(1+8%)/12)-1;72;6000)

Siendo el resultado: -104,38€. En negativo porque es dinero que tenemos que pagar.

Para usar PAGOINT, hace falta un valor más, el período en el que estamos. En el caso anterior, para los meses 1 y 72 las fórmulas serían:

=PAGO(EXP(LN(1+8%)/12)-1;1;72;6000)
=PAGO(EXP(LN(1+8%)/12)-1;72;72;6000)

Siendo sus resultados: -38,60€ y -0,67€, respectivamente.

Ambas fórmulas funcionan con intereses constantes, por lo tanto, en préstamos variables cada vez que cambie el tipo de interés -normalmente, cada seis meses o un año- habría que recalcular PAGO y PAGOINT con la nueva tasa, los meses pendientes y el capital pendiente de amortizar.

A veces, en los préstamos se incluyen comisiones de apertura, estas comisiones deben tenerse en cuenta al calcular el TAE. Supongamos que un banco nos presta dinero a un año al 0% con una comisión de apertura del 5%. Es decir, nos entrega el 95% hoy y cada mes nos cobrará la duodécima parte del 100%. Para saber el interés mensual podemos utilizar la fórmula TASA.

=TASA(12;-100/12;95) = 0,80%

Ahora hay que convertir ese interés mensual en TAE.

=(1+0,80%)^12 - 1 = 10% TAE

Vaya, un préstamo al 0% y resulta que es un ¡10% TAE!.

Espero no haber creado más confusión respecto al TAE de la previamente existente.


Por cierto, no me he olvidado de las demostraciones prometidas.

Para calcular el TAE a partir de un período menor que el año. Supongamos intereses diarios, tenemos lo siguiente:

El primer día, empezamos con el capital (C) y acabamos con el capital (C) más el capital (C) multiplicado por la tasa de interés diaria (i).

C+C*i = C*(1+i)

Donde "*" significa "multiplicado por".

El segundo día, empezamos con lo que acabamos el anterior (C*(1+i)), por lo que sustituyendo tenemos:

C*(1+i)*(1+i) = C*(1+i)^2

Donde "^" significa "elevado a".

Siguiendo el desarrollo el día 365, tendremos.

Día 365 C*(1+i)^365

Generalizando, siendo i el interés y p el número de períodos:

C*(1+TAE) = C*(1+i)^p
TAE = (1+i)^p-1

Ahora vamos a ver qué ocurre cuando el cálculo que queremos realizar es el inverso. Es decir, tenemos el TAE y el plazo (p) y queremos calcular i.

(1+i)^p - 1 = TAE
(1+i)^p = 1 + TAE
LN((1+i)^p) = LN(1+TAE)
p*LN(1+i) = LN(1+TAE)
LN(1+i) = LN(1+TAE)/p
EXP(LN(1+i)) = EXP(LN(1+TAE)/p)
1+i = EXP(LN(1+TAE)/p)
i = EXP(LN(1+TAE)/p) - 1

Donde "EXP" significa "e elevado a" y "LN", "logaritmo neperiano".

Actualización. 02/04/07
La fórmula que daba para calcular los préstamos cuando hay comisiones no es correcta. Por lo que he podido encontrar, parece que no se puede calcular con una fórmula, hace falta un algoritmo que funciona por aproximaciones sucesivas. Lo que no he conseguido encontrar es una explicación clara sobre cómo hacer ese cálculo.

Actualización. 20/05/07
Gracias al interés y la persistencia de Héctor se confirma que en realidad la información original era correcta. La fórmula TASA de Excel hace el cálculo por aproximaciones sucesivas necesario para resolver el problema.

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2 Comentarios:

Anonymous Anónimo dijo...

Muchas gracias. Muy útil la información :)

10:32  
Anonymous Anónimo dijo...

Es justo lo que buscaba, gracias

17:03  

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